Polytope im IR 4 (= Polychora)

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Die Platonischen Polychora

Im IR4 gibt es sechs regelmäßige Polytope, die sechs Platonischen Polychora. Sie bestehen jeweils aus gleichen (und regelmäßigen) Zellen, die auf regelmäßige Art um Kanten und Ecken angeordnet sind.

Dies sind der 5-Zeller, der 8-Zeller, der 16-Zeller, der 24-Zeller, der 120-Zeller und der 600-Zeller.

Der 5-Zeller (C5) besteht aus fünf Tetraedern (3,3,3), zehn 3-Ecken, zehn Kanten und fünf Ecken. Diese haben die kartesischen Koordinaten ( 1, 1, 1, 0), ( 1,-1,-1, 0), (-1, 1,-1, 0), (-1,-1, 1, 0) und ( 0, 0, 0, √5). Des Weiteren liegen um eine Kante drei und um eine Ecke vier Zellen. Dieses Polychor ist auch unter dem Namen 4-Simplex bekannt.

Zentralprojektion Abwicklung Eckenumgebung
des 5-Zellers

Der 8-Zeller (C8) ­– Maßpolychor, Hyperwürfel oder auch Tesserakt genannt – besteht aus acht Hexaedern (4,4,4), 24 4-Ecken, 32 Kanten und 16 Ecken mit den kartesischen Koordinaten ( ±1, ±1, ±1, ±1). An jeder Kante liegen drei und an jeder Ecke vier Zellen.

Zentralprojektion Abwicklung Eckenumgebung
des 8-Zellers

Der 16-Zeller (C16) – auch Kreuzpolychor genannt – besitzt 16 Tetraeder (3,3,3), 32 3-Ecke, 24 Kanten und acht Ecken. Die Koordinaten der Ecken sind ( ±1, 0, 0, 0) und alle Permutationen. Um jede Kante findet man vier Zellen und um jede Ecke acht.

Zentralprojektion Abwicklung Eckenumgebung
des 16-Zellers

Der 24-Zeller (C24) hat 24 Oktaeder (3,3,3,3), 96 3-Ecke, 96 Kanten und 24 Ecken mit den Koordinaten ( ±1, 0, 0, 0) und alle Permutationen und ( ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2). Zu jeder Ecke gibt es sechs Zellen und entlang jeder Kante liegen drei Oktaeder (3,3,3,3).

Zentralprojektion Abwicklung Eckenumgebung
des 24-Zellers

Der 120-Zeller (C120) besitzt 120 Dodekaeder (5,5,5), 720 5-Ecke, 1200 Kanten und 600 Ecken. Dabei legen sich um jede Kante drei Zellen und um jede Ecke vier. Diese Ecken sind ( ±1, ±1, 0, 0), ( ±√5/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2), ( ±τ/2, ±τ/2, ±τ/2, ±1/2τ²) und ( ±τ²/2, ±1/, ±1/, ±1/) jeweils mit allen Permutationen und ( ±τ²/2, ±1/2τ², ±1/2, 0), ( ±√5/2, ±1/, ±τ/2, 0) und ( ±1, ±1/2, ±τ/2, ±1/) jeweils mit den geraden Permutationen. Hierbei ist τ [tau] die goldene Schnittzahl √5-1/2.

Zentralprojektion Abwicklung Eckenumgebung
des 120-Zellers

Der 600-Zeller (C600) besteht aus 600 Tetraedern (3,3,3), drei um jede Kante, 1200 3-Ecken, 720 Kanten und 120 Ecken, um die jeweils zwanzig Zellen liegen. Dabei sind ( ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2), ( ±1, 0, 0, 0) mit allen Permutationen, und ( ±τ/2, ±1/2, ±1/, 0) mit allen geraden Permutationen die kartesischen Koordinaten der Ecken. τ ist dabei ebenfalls die goldene Schnittzahl √5-1/2.

Zentralprojektion Abwicklung Eckenumgebung
des 600-Zellers
 
Die Platonischen Polychora gehören natürlich auch zu den halbregelmäßigen (d.h. uniformen) Polychora und werden dort als dritte von vier Gruppen mitgezählt. Weiter zur ersten, zur zweiten oder zur vierten Gruppe der 64 uniformen Polychora.

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